توضیحات محصول

منی فولد دود کاترپیلار

منی فولد دود کاترپیلار سطح یک منیفولد دو بعدی است ، به این معنی که به صورت محلی شبیه هواپیمای اقلیدسی نزدیک هر نقطه است. به عنوان مثال ، سطح یک کره زمین را می توان با مجموعه ای از نقشه ها (به نام نمودار) توصیف کرد ، که در کنار هم یک اطلس کره زمین را تشکیل می دهند. اگرچه هیچ نقشه جداگانه ای برای پوشاندن کل سطح جهان کافی نیست ، اما هر مکانی در جهان حداقل در یکی از نمودارها قرار خواهد گرفت.

شما میتوانید این محصول از فروشگاه نوین پویان تهیه نمایید.09121041523-66698815-021

بسیاری از مکان ها در بیش از یک نمودار ظاهر می شوند. به عنوان مثال ، یک نقشه از آمریکای شمالی به احتمال زیاد شامل بخش هایی از آمریکای جنوبی و دایره قطب شمال خواهد بود. این مناطق از جهان به طور کامل در نمودارهای جداگانه تشریح خواهد شد که به نوبه خود شامل بخش هایی از آمریکای شمالی خواهد بود. بین نمودارهای مجاور رابطه وجود دارد ، به نام یک نقشه انتقال که به آنها امکان می دهد به طور مداوم در کنار هم قرار بگیرند تا کل کره زمین را پوشش دهند.

توصیف نمودارهای مختصات روی سطوح به صراحت نیاز به آگاهی از عملکردهای دو متغیر دارد ، زیرا این توابع وصله باید ناحیه ای را در هواپیما به منطقه دیگری از هواپیما ترسیم کنند. با این حال ، نمونه های تک بعدی از منی فولد دود کاترپیلار (یا منحنی ها) را می توان تنها با توابع یک متغیر واحد توصیف کرد.

با توجه به نیاز به پیوستن تصاویر (بافت) برای مختصات (به عنوان مثال اسکن های CT) ، مانیفولد ها در گرافیک های رایانه ای و واقعیت افزوده کاربردهایی دارند. در یک واقعیت افزوده ، یک تصویر (هواپیمای مماس) می تواند به عنوان چیزی در ارتباط با یک مختصات مشاهده شود و با استفاده از سنسورها برای تشخیص حرکات و چرخش ، می توان از نحوه جهت گیری و قرار دادن تصویر در فضا آگاهی داشت.

دایره منی فولد دود کاترپیلار

شکل 1: چهار نمودار هر قسمت از قسمت دایره به فاصله باز و با هم کل دایره را پوشانده است.

پس از یک خط ، دایره ساده ترین نمونه از منیفولد توپولوژیکی است. توپولوژی خمش را نادیده می گیرد ، بنابراین یک قطعه کوچک از دایره دقیقاً مانند قطعه کوچک از یک خط درمان می شود. به عنوان مثال ، قسمت بالای دایره واحد ، x2 + y2 = 1 را در نظر بگیرید که مختصات y مثبت است (که توسط قوس دایره ای زرد در شکل 1 نشان داده شده است). هر نقطه از این قوس را می توان با مختصات x آن منحصر به فرد توصیف کرد. بنابراین ، طرح ریزی روی اولین مختصات ، نقشه برداری مداوم و غیرقابل برگشت از قوس فوقانی تا فاصله باز (1 و 1،):

حلقه غنی شده منی فولد دود کاترپیلار

با استفاده از حساب ، تابع انتقال دایره T به سادگی تابعی بین فواصل باز است ، که به این جمله معنی می دهد که T قابل تشخیص است. نقشه گذار T و سایر موارد ، روی (0 ، 1) متفاوت هستند. بنابراین ، با این اطلس دایره یک مانیفولد متفاوت است. همچنین صاف و تحلیلی است زیرا توابع انتقال نیز این خصوصیات را دارند.

سایر خصوصیات دایره این امکان را برای شما فراهم می کند که نیازهای انواع منیفولد تخصصی تری را برآورده کند. به عنوان مثال ، دایره مفهومی از فاصله بین دو نقطه دارد ، طول قوس بین نقاط؛ از این رو یک مانیفولد ریمانی است.

منحنی های دیگر

چهار منیفولد از منحنی های جبری: ■ حلقه ها ، ■ پارابولا ، ■ هایپرگلای ، ■ مکعب.

مانیفولد ها نیازی به اتصال ندارند (همه در “یک قطعه”). یک مثال یک جفت حلقه جداگانه است.

مانیفولد ها نباید بسته شوند. بنابراین یک قطعه خط بدون نقاط پایانی آن چند برابر است. و آنها هرگز قابل شمارش نیستند ، مگر اینکه ابعاد منیفولد 0 باشد. این آزادیها را در کنار هم قرار دهید ، نمونه های دیگر مانیفولد ها عبارتند از یک پارابولا ، یک هایپربالا (دو قطعه باز و نامتناهی) و جایگاه نقاط بر روی منحنی مکعب y2 = x3 – x (یک قطعه حلقه بسته و یک قطعه باز و بی نهایت).

با این وجود ، مثالهایی مانند دو دایره لمسی وجود دارد که یک نقطه را برای شکل دادن به شکل 8 دارند. در نقطه مشترک ، نمودار رضایت بخش ایجاد نمی شود. حتی با خم شدن توپولوژی ، مجاورت نقطه مشترک به نظر می رسد “+” ، نه یک خط. یک “+” با فاصله داخلی (بخش خط) هومومورفیک نیست ، زیرا حذف نقطه مرکز از “+” فضایی با چهار مؤلفه (به عنوان مثال قطعه) می دهد ، در حالی که حذف یک نقطه از یک بازه بسته فضایی را با بیشتر دو قطعه؛ عملیات توپولوژیک همیشه تعداد قطعات را حفظ می کند.

تعریف ریاضی منی فولد دود کاترپیلار

اطلاعات بیشتر: دسته های منیفولدها

به طور غیررسمی ، منیفولد فضایی است که “بر روی” فضای اقلیدسی “مدل سازی شده است”.

بسته به متن ، انواع مختلفی از منیفولدها وجود دارد. در هندسه و توپولوژی ، تمام منیفولدها منیفولدهای توپولوژیکی هستند ، احتمالاً دارای ساختار اضافی مانند یک ساختار متفاوت هستند. منیفولد را می توان با دادن مجموعه ای از نمودارهای مختصات ، یعنی پوشاندن توسط مجموعه های باز با هومومورفیزمها به یک فضای اقلیدسی و توابع وصله ای ساخت: توابع هومومورفیسم از یک منطقه از فضای اقلیدسی به منطقه دیگر در صورت مطابقت با همان قسمت از منیفولد در دو نمودار مختصات مختلف. اگر عملکردهای وصله ای بدتر از تداوم را برآورده سازند ، می توان ساختار اضافی ایجاد کرد. به عنوان مثال ، منیفولدهای متفاوت در همسایگی های با هم تداخل دارند که دارای اختلافات متفاوتی با یکدیگر هستند ، به طوری که منیفولد دارای توابع کاملاً تعریف شده ای است که در هر محله متفاوت است ، و به طور کلی از منیفولد متفاوت است.

به طور رسمی ، یک منیفولد (توپولوژیکی) دومین مکان قابل شمارش Haus Hausff است که بصورت محلی همخوان با فضای اقلیدسی است.

شمارش دوم و Hausdorff شرایط تعیین شده برای نقاط هستند. حساب دوم دوم فضاهایی را که به نوبه خود “خیلی بزرگ” مانند خط طولانی است ، را رد می کند ، در حالی که هاوسدورف فضاهایی مانند “خط با دو منبع” را حذف نمی کند (این کلیات مانیفولد ها در مانیفولدهای غیر Haus Hausff بحث شده است).

به طور محلی از نظر هومومورفیک به فضای اقلیدسی بدین معنی است که هر نقطه دارای یک همسایه محله به یک توپ آزاد اقلیدسی است ،

\ displaystyle \ mathbf {B} ^ {n} = \ left \ {(x_ {1}، x_ {2}، \ dots، x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid x_ 1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} <1 \ Right \}.} {\ displaystyle \ mathbf {B} ^ {n} = \ سمت چپ \ {(x_ {1} ، x_ {2} ، \ dots ، x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ { 2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} <1 \ Right \}.}

به طور دقیق تر ، هومومورف محلی به این معنی است که هر نقطه از مانیفولد M دارای یک محله باز همومورف به یک محله باز در فضای اقلیدسی است ، و نه به طور خاص به توپ واحد. با این حال ، با توجه به چنین هومومورفیسم ، پیش تصویری از {\ displaystyle \ epsilon ball \ epsilon -ball یک هومومورفیسم بین توپ واحد و یک محله کوچکتر از m را ایجاد می کند ، بنابراین این از دست دادن کلی بودن نیست. در مورد منیفولدهای توپولوژیکی یا تمایز پذیر نیز می توان پرسید که در هر نقطه یک همسایگی محله ای برای همه فضای اقلیدسی وجود دارد (زیرا این اختلاف در توپ واحد است) ، اما این کار برای منیفولدهای پیچیده انجام نمی شود ، زیرا توپ واحد پیچیده هولومورفیک نیست. به فضای پیچیده

به طور کلی منیفولد ها از یک بعد ثابت استفاده می شوند (فضا باید به صورت محلی به صورت یک توپ ثابت ثابت در خانه باشد) و به چنین فضایی یک n-manifold گفته می شود. با این حال ، برخی از نویسندگان نمایشگرهایی را پذیرفته اند که نقاط مختلف می توانند ابعاد مختلفی داشته باشند. اگر منیفولد دارای ابعاد ثابت باشد ، به آن منیفولد خالص گفته می شود. به عنوان مثال ، کره از ابعاد ثابت 2 برخوردار است و بنابراین یک مانیفولد خالص است در حالی که اتحاد جداگانه یک کره و یک خط در فضای سه بعدی یک مانیفولد خالص نیست. از آنجا که بعد یک تغییر ناپذیر محلی است (یعنی نقشه ای که هر نقطه را به ابعاد همسایه خود ارسال می کند

نمودارها ، اطلس ها و نقشه های انتقال منی فولد دود کاترپیلار

مقاله اصلی: اطلس (توپولوژی)

همچنین مشاهده کنید: منیفولد متمایز

زمین کروی با استفاده از نقشه ها یا نمودارهای مسطح ، که در یک اطلس جمع آوری شده ، پیمایش می شود. به طور مشابه ، یک منیفولد متفاوت را می توان با استفاده از نقشه های ریاضی ، به نام نمودار های مختصات ، که در یک اطلس ریاضی جمع آوری شده است ، توصیف کرد. به طور کلی توصیف منیفولد تنها با یک نمودار امکان پذیر نیست ، زیرا ساختار جهانی منیفولد با ساختار ساده نمودارها متفاوت است. به عنوان مثال ، هیچ نقشه مسطح واحدی نمی تواند کل زمین را بدون تفکیک ویژگی های مجاور در مرزهای نقشه یا تکرار پوشش نشان دهد. هنگامی که منیفولد از چندین نمودار همپوشانی ساخته می شود ، مناطقی که در آنها با هم همپوشانی دارند اطلاعات لازم را برای درک ساختار جهانی دارند.

نمودار منی فولد دود کاترپیلار

مقاله اصلی: نمودار مختصات

یک نقشه مختصات ، یک نمودار مختصات یا یک نمودار ساده از یک منیفولد یک نقشه معکوس بین زیر مجموعه منیفولد و یک فضای ساده است به گونه ای که هم نقشه و هم معکوس آن ساختار مورد نظر را حفظ می کند. [2] برای یک منیفولد توپولوژیکی ، فضای ساده زیرمجموعه‌ای از فضای اقلیدسی Rn است و علاقه به ساختار توپولوژیک متمرکز است. این ساختار توسط هومومورفیسم ها ، نقشه های برگشت پذیر که از دو جهت مداوم هستند ، حفظ می شود.

در مورد منیفولد متفاوت ، مجموعه ای از نمودارها به نام اطلس به ما امکان می دهد تا روی مانیفولد ها حساب کنیم. به عنوان مثال ، مختصات قطبی ، نمودار را برای هواپیما R2 منهای محور x مثبت و منشا تشکیل می دهند. نمون Another دیگر نمودار ، نقشه chtop ذکر شده در بخش فوق ، نمودار برای دایره است.

اطلس

مقاله اصلی: اطلس (توپولوژی)

توضیحات بیشتر منیفولدها به بیش از یک نمودار نیاز دارد (یک نمودار واحد فقط برای ساده ترین مانیفولدها مناسب است). مجموعه مشخصی از نمودارها که مانیفولد را پوشش می دهند ، اطلس نامیده می شود. یک اطلس منحصر به فرد نیست زیرا تمام منیفولدها را می توان با استفاده از ترکیبهای مختلف نمودارها به روشهای مختلفی پوشانید. گفته می شود که اگر اتحادیه آنها نیز یک اطلس باشد ، دو اطلس برابر هستند.

اطلس حاوی کلیه نمودارهای ممکن مطابق با یک اطلس معین ، اطلس حداکثر نامیده می شود (یعنی یک کلاس هم ارزی شامل آن اطلس داده شده (تحت رابطه هم ارزی قبلاً تعریف شده در پاراگراف قبلی)). بر خلاف یک اطلس معمولی ، حداکثر اطلس یک مانیفولد خاص منحصر به فرد است. گرچه برای تعاریف مفید است ، اما یک شیء انتزاعی است و مستقیماً از آن استفاده نمی شود (مثلاً در محاسبات).

نقشه های انتقالی

نمودارهای یک اطلس ممکن است با هم همپوشانی داشته باشند و یک نقطه از منیفولد ممکن است در چندین نمودار نشان داده شود. اگر دو نمودار با هم همپوشانی داشته باشند ، بخش هایی از آنها نشان دهنده همان منطقه منیفولد است ، دقیقاً همانطور که نقشه اروپا و یک نقشه آسیا ممکن است هر دو مسکو را در خود جای دهند. با توجه به دو نمودار همپوشانی ، یک تابع انتقال را می توان تعریف کرد که از یک توپ باز در Rn به منیفولد و سپس به یک توپ باز دیگر (یا شاید همان) در Rn برگردد. نقشه حاصل ، مانند نقشه T در مثال دایره بالا ، تغییر مختصات ، تبدیل مختصات ، تابع انتقال یا نقشه انتقال نامیده می شود.

ساختار اضافی

همچنین می توان از یک اطلس برای تعریف ساختار اضافی روی منیفولد استفاده کرد. ساختار ابتدا در هر نمودار بطور جداگانه تعریف می شود. اگر همه نقشه های انتقال با این سازه سازگار باشند ، ساختار به منیفولد منتقل می شود.

این روش استاندارد تعریف منیفولدهای متفاوت است. اگر توابع انتقال یک اطلس برای یک منیفولد توپولوژیکی ، ساختار دیفرانسیل طبیعی Rn را حفظ کند (یعنی اگر آنها دیفئورمورفیسم باشند) ، ساختار دیفرانسیل به منیفولد منتقل می شود و آن را به یک منیفولد متمایز تبدیل می کند. منیفولدهای پیچیده با نیاز به توابع انتقال یک اطلس توابع هولومورفیک به روش مشابه معرفی می شوند. برای منیفولدهای سمبل ، توابع انتقال باید به صورت سیمپلکتومورفیسم باشند.

ساختار روی منیفولد به اطلس بستگی دارد ، اما بعضی اوقات می توان گفت که اطلس های مختلف باعث ایجاد همین ساختار می شوند. چنین اطلس ها سازگار نامیده می شوند.

این مفاهیم بطور کلی با استفاده از گروههای شبه‌جزئیه‌ای دقیق انجام می‌شوند.

منیفولد با مرز

همچنین مشاهده کنید: منیفولد توپولوژیک – منیفولد با مرز

منیفولد با مرز ، منیفولد با لبه است. به عنوان مثال ، یک ورق کاغذ یک منیفولد 2 با یک مرز 1 بعدی است. مرز n – manifold با مرز یک n-n است. دیسک (دایره به علاوه داخلی) یک مانیفولد با مرز است. مرز آن یک دایره است ، یک مانیفولد 1-. یک مربع با داخلی نیز یک منیفولد 2 ضلعی با مرز است. یک توپ (کره به علاوه داخلی) یک مانیفولد 3 مرز با مرز است. مرز آن یک کره است ، یک مانیفولد 2-. (همچنین به مرز (توپولوژی) مراجعه کنید).

به زبان فنی ، منیفولد با مرز فضایی است که دارای نقاط داخلی و نقاط مرزی است. هر نقطه داخلی دارای همسایگی محله ای با n-top open (x1 ، x2 ،… ، xn) است | Σxi2 <1. هر نقطه مرزی دارای یک همسایه محله به “توپ” n-ball {(x1 ، x2 ، … ، xn) | Σxi2 <1 و x1 ≥ 0. هومومورفیسم باید هر نقطه مرزی را به نقطه ای با x1 = 0 ارسال کند.

مرز و داخلی

بگذارید M یک مانیفولد با مرز باشد. فضای داخلی M با علامت Int M مجموعه ای از نقاط M است که دارای محله های همومورفیک به زیر مجموعه ای از Rn است. مرز M ، با بیان ∂M ، مکمل Int M در M. است. نقاط مرزی را می توان به عنوان نقاطی توصیف کرد که بر روی ابر صفحه (xn = 0) Rn + در زیر برخی نمودارهای مختصات فرود می آیند.

اگر M یک مانیفولد با مرز بعد n باشد ، Int M یک مانیفولد (بدون مرز) از ابعاد n و ∂M مانیفولد (بدون مرز) از بعد n – 1 است.

ساخت و ساز

یک منیفولد واحد می تواند به روش های مختلفی ساخته شود که هر یک بر جنبه های مختلف منیفولد تأکید می کند و از این طریق به یک دیدگاه متفاوت می انجامد.

نمودار

نمودار بخشی از کره را با مختصات z مثبت به دیسک نقشه می کند.

شاید ساده ترین روش برای ساخت منیفولد راهی باشد که در مثال بالا از دایره استفاده شده است. ابتدا زیر مجموعه ای از R2 شناسایی می شود و سپس یک اطلس با پوشش این زیر مجموعه ساخته می شود. مفهوم منیفولد از لحاظ ساختاری مانند این از لحاظ تاریخی رشد کرد. در اینجا یک مثال دیگر ، استفاده از این روش برای ساختن یک کره:

کره با نمودار منی فولد دود کاترپیلار

کره را می توان تقریباً به همان شکل دایره درمان کرد. در ریاضیات یک کره فقط سطح (نه داخلی جامد) است که می تواند به عنوان زیر مجموعه R3 تعریف شود:

\ displaystyle S = \ left \ {(x، y، z) \ in \ mathbf {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ Right \}.} {\ displaystyle S = \ left \ {(x، y، z) \ in \ mathbf {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 = 1 \ درست \}.

کره دو بعدی است ، بنابراین هر نمودار بخشی از کره را به یک زیر مجموعه R2 باز می کند. نیمکره شمالی را در نظر بگیرید ، که بخشی از آن با مختصات z مثبت است (قرمز رنگ در تصویر در سمت راست). عملکرد χ تعریف شده توسط

{\ displaystyle \ chi (x، y، z) = (x، y)، \} {\ displaystyle \ chi (x، y، z) = (x، y)، \

نیمکره شمالی را با پیش بینی آن بر روی صفحه (x، y) نیمکره شمالی را به دیسک واحد باز نقشه برداری می کنید. نمودار مشابهی برای نیمکره جنوبی وجود دارد. به همراه دو نمودار پیش نمایش در هواپیما (x، z) و دو نمودار پیش نمایش در هواپیما (y، z) ، یک اطلس شش نمودار تهیه شده است که کل کره را در بر می گیرد.

این را می توان به راحتی در حوزه هایی با ابعاد بالاتر تعمیم داد.

وصله

اطلاعات بیشتر: نظریه جراحی

یک منیفولد را می توان با چسباندن قطعات به صورت یکنواخت ، ساخت و آنها را به نمودارهای همپوشانی تبدیل کرد. این ساخت و ساز برای هر منیفولد امکان پذیر است و از این رو اغلب به عنوان یک توصیف ، بخصوص برای مانیفولدهای متفاوت و رییمانی استفاده می شود. این قسمت روی یک اطلس متمرکز است ، زیرا تکه ها به طور طبیعی نمودارهایی را تهیه می کنند ، و از آنجا که هیچ فضای بیرونی در آن وجود ندارد ، منجر به نمای ذاتی از منیفولد می شود.

منی فولد دود کاترپیلار با مشخص کردن یک اطلس ساخته شده است ، که خود توسط نقشه های انتقال تعریف می شود. بنابراین یک نقطه از منیفولد یک کلاس هم ارزی نقاطی است که توسط نقشه های گذار به یکدیگر نقشه کشیده می شوند. نمودارهای کلاس هم ارزی نقشه ها به نقاط یک وصله واحد. معمولاً خواسته های شدیدی بر قوام نقشه های انتقال وجود دارد. برای مانیفولدهای توپولوژیکی لازم است که آنها همومورفیسم باشند. اگر آنها نیز دیفئورمورفیسم باشند ، منیفولد حاصل یک مانیفولد متفاوت است.

این را می توان با نقشه انتقال t = 1 از نیمه دوم مثال دایره نشان داد. با دو نسخه از خط شروع کنید. برای نسخه اول از مختصات استفاده کنید و برای نسخه دوم از t استفاده کنید. حال ، هر دو کپی را با مشخص کردن نقطه t روی نسخه دوم با نقطه s = 1⁄t روی نسخه اول چسب بزنید (نقاط t = 0 و s = 0 با هیچ نقطه ای در نسخه اول و دوم مشخص نمی شوند ، به ترتیب). این یک حلقه می دهد.

نمای ذاتی و بیرونی

اولین ساخت و ساز و ساختمان بسیار شبیه به هم هستند اما از نقطه نظرهای مختلفی را نشان می دهند. در ساخت اول ، منیفولد در بعضی از فضای اقلیدسی تعبیه شده است. این نمای بیرونی است. هنگامی که منیفولد از این طریق مشاهده می شود ، می توان به راحتی از شهود فضاهای اقلیدسی استفاده کرد تا ساختار اضافی را تعریف کند. برای

شناسایی نقاط منیفولد

مقالات اصلی: Orbifold و Action Group (ریاضیات)

می توان نقاط مختلف منیفولد را یکسان تعریف کرد. این را می توان به عنوان چسباندن این نقاط در یک نقطه واحد و ایجاد یک فضای بزرگ به تصویر کشید. با این وجود ، هیچ دلیلی وجود ندارد که انتظار داشته باشیم چنین فضاهای بزرگ چند برابر شود. در میان فضاهای احتمالی احتمالی که لزوما مانیفولد نباشند ، مجتمع های مداری و CW در نظر گرفته می شوند که رفتار نسبتاً خوبی دارند. نمونه ای از فضای اختصاصی منیفولد که یک قطعات ماشین های راه سازی نیز هست ، فضای پروژکتور واقعی است که به عنوان فضای کمتری از حوزه مربوطه شناخته می شود.

یکی از روشهای شناسایی نقاط (چسباندن آنها به یکدیگر) از طریق یک عمل راست (یا سمت چپ) یک گروه است که روی منیفولد عمل می کند. اگر یکی از عناصر گروه بر روی دیگری منتقل شود ، دو نقطه مشخص می شوند. اگر M مانیفولد باشد و G گروه است ، فضای کمبندی حاصل با M / G (یا G \ M) مشخص می شود.

مانیفولدهایی که می توانند با شناسایی نقاط ساخته شوند ، شامل فضاهای پروژکتور و حقیقی (به ترتیب با هواپیما و کره) است.

در امتداد مرزها می چسباند

مقاله اصلی: فضای حراج (توپولوژی)

قطعات ماشین های راه سازی با مرز می تواند در امتداد یک مرز چسبانده شود. اگر این کار به روش صحیح انجام شود ، نتیجه نیز چند برابر است. به همین ترتیب ، دو مرز یک منیفولد واحد را می توان در هم چسبانید.

به طور رسمی ، چسب توسط یک زیبایی بین دو مرز تعریف می شود [مشکوک – بحث کنید]. دو نقشه هنگام نقشه برداری بر روی یکدیگر مشخص می شوند. برای یک منیفولد توپولوژیکی ، این زیبایی باید یک هومومورفیسم باشد ، در غیر این صورت نتیجه منیفولد توپولوژیکی نخواهد بود. به طور مشابه برای یک منیفولد متمایز ، باید یک دیفئورمورفیسم باشد. برای منیفولدها ساختارهای دیگر باید حفظ شوند.

با شروع با یک نوار [0 ، 1] × [0 ، 1] یک سیلندر محدود ممکن است به عنوان منیفولد ساخته شود و با یک دیفرومورفیسم مناسب ، یک جفت لبه مخالف را بر روی مرز بچسبانید. با چسباندن کره ای با سوراخ در آن به یک نوار Möbius در امتداد مرزهای دایره ای مربوطه ، می توان یک هواپیمای پروژکتور بدست آورد.

محصولات دکارتی منی فولد دود کاترپیلار

محصول منیفولد دکارتی نیز چند برابر است.

ابعاد منیفولد محصول مجموع ابعاد عوامل آن است. توپولوژی آن ، توپولوژی محصول است و نمودارهای کاریکاتوری ، نمودارهایی برای چندمنظوره محصول است. بنابراین ، یک اطلس برای منیفولد محصول می تواند با استفاده از اطلس برای عوامل آن ساخته شود. اگر این اطلس ها ساختار دیفرانسیل را بر روی فاکتورها تعریف کنند ، اطلس مربوطه یک ساختار دیفرانسیل را روی منیفولد محصول تعریف می کند. در مورد هر ساختار دیگری که بر روی فاکتورها تعریف شده است ، همین موضوع صادق است. اگر یکی از عوامل مرز داشته باشد ، منیفولد محصول نیز دارای مرز است. از محصولات دکارتی ممکن است برای ساخت سیلندرهای tori و محدود استفاده شود ، به عنوان مثال به ترتیب S1 × S1 و S1 × [0 ، 1].

تاریخ

اطلاعات بیشتر: تاریخچه منیفولدها و گونه ها

مطالعه قطعات ماشین های راه سازی بسیاری از زمینه های مهم ریاضیات را ترکیب می کند: مفاهیمی مانند منحنی ها و سطوح و همچنین ایده هایی از جبر خطی و توپولوژی را تعمیم می دهد.

توسعه اولیه

قبل از مفهوم مدرن منیفولد ، چندین نتیجه مهم حاصل شده است.

قطعات ماشین های راه سازی غیر اقلیدسی فضاهایی را در نظر می گیرد که فرضیه موازی اقلیدس با شکست مواجه شود. ساچری برای اولین بار در سال 1733 چنین هندسه هایی را مورد مطالعه قرار داد اما فقط در پی رد آنها بود. 100 سال بعد گاوس ، بولیایی و لوباچفسکی آنها را به طور مستقل کشف کردند. تحقیقات آنها دو نوع فضایی را کشف کرد که ساختارهای هندسی آن با فضای کلاسیک اقلیدسی متفاوت است. این منجر به هندسه بیشربولیک و هندسه بیضوی شد. در تئوری مدرن مانیفولد ، این مفاهیم به ترتیب با منیفولدهای ریمانیایی با انحنای منفی و منفی ثابت مطابقت دارند.

کارل فردریش گاوس شاید اولین کسی باشد که فضاهای انتزاعی را به عنوان اشیاء ریاضی در نوع خود در نظر گرفته است. قضیه او egregium روشی را برای محاسبه انحنای سطح بدون در نظر گرفتن فضای محیطی که سطح در آن قرار دارد ، ارائه می دهد. چنین سطحی ، در اصطلاحات مدرن ، منیفولد نامیده می شود. و از نظر مدرن ، قضیه ثابت کرد که انحنای سطح یک ویژگی ذاتی است. نظریه منیفولد منحصراً روی این خصوصیات ذاتی (یا ثابت) متمرکز شده است ، در حالی که تا حد زیادی از ویژگیهای بیرونی فضای محیط چشم پوشی می کند.

یکی دیگر از نمونه های توپولوژیکی خاصیت ذاتی مانیفولد ، ویژگی Euler است. لئونارد اویلر نشان داد که برای یک پلی استوپ محدب در فضای سه بعدی اقلیدسی با رئوس V (یا گوشه ها) ، لبه های E و صورت F ،

{\ displaystyle V-E + F = 2. \} V-E + F = 2. \

همانطور که فرمول ها و لبه های پلی استوپ را روی یک کره قرار دهیم ، همان فرمول را در اختیار شما قرار می دهیم ، ایجاد نقشه توپولوژیکی با vertices V ، لبه های E و صورت F و در واقع ، برای هر نقشه کروی حتی اگر هم صادق باشد ، صادق خواهد بود. از هیچ پلی توپی محدب ناشی نمی شود.قطعات ماشین های راه سازی بنابراین 2 متغیر توپولوژیکی کره است که خصوصیات اویلر آن نامیده می شود. از طرف دیگر ، یک توروس را می توان با حلقه های “موازی” و “نصف النهار” خود باز کرد و نقشه ای با V = 1 راس ، لبه های E = 2 و F = 1 ایجاد کرد. بنابراین مشخصه اویلر توروس 1 – 2 + 1 = 0 است. خصوصیات اویلر سایر سطوح یک تغییر توپولوژیک مفید است که با استفاده از اعداد بتی می تواند به ابعاد بالاتر گسترش یابد. در اواسط قرن نوزدهم ، قضیه گاوس-بنت ویژگی اویلر را به خمیدگی گاوسی پیوند داد.

سنتز منی فولد دود کاترپیلار

تحقیقات Niels Henrik Abel و Carl Gustav Jacobi در مورد وارونگی انتگرالهای بیضوی در نیمه اول قرن نوزدهم باعث شد تا آنها انواع خاصی از مانیفولدهای پیچیده را که اکنون با عنوان Jacobians شناخته می شوند ، در نظر بگیرند. Bernhard Riemann بیشتر در تئوری آنها نقش داشت و معنای هندسی فرایند ادامه تحلیلی کارکردهای متغیرهای پیچیده را روشن کرد.

منبع مهم دیگر منی فولد دود cat در ریاضیات قرن نوزدهم مکانیک تحلیلی بود که توسط Siméon Poisson ، Jacobi و William Rowan Hamilton توسعه یافت.قطعات ماشین های راه سازی می شود حالات احتمالی یک سیستم مکانیکی نقاطی از یک فضای انتزاعی ، فضای فاز در لورگانیان و فرمالیسم همیلتون مکانیک کلاسیک است. این فضا در حقیقت یک منی فولد دود cat با ابعاد بالا است که ابعاد آن مطابق با درجه های آزادی سیستم و جایی است که نقاط توسط مختصات عمومی آنها مشخص می شود. برای حرکت نامشخص ذرات آزاد ، منیفولد معادل فضای اقلیدسی است ، اما قوانین مختلف حفاظت آن را محدود به سازندهای پیچیده تر می کند ، به عنوان مثال. لیووی توری تئوری یک جسم جامد در حال چرخش ، توسعه یافته در قرن 18 توسط لئونارد اویلر و جوزف لوئیس لاگرانژ ، مثال دیگری را نشان می دهد که در آن مانیفولد غیرمجاز است. جنبه های هندسی و توپولوژیکی مکانیک کلاسیک توسط هنری پوانکاره ، یکی از بنیانگذاران توپولوژی مورد تأکید قرار گرفت.

ریمان اولین کسی بود که کارهای گسترده ای انجام داد و ایده ای از سطح به ابعاد بالاتر را تعمیم داد. نام منی فولد دود cat از اصطلاح اصلی آلمانی ریمان به نام Mannigfaltigkeit آمده است که ویلیام کینگدون کلیفورد آن را “manifoldness” ترجمه کرده است. ریمان در سخنرانی آغازین گوتینگن ، مجموعه ای از تمام مقادیر ممکن یک متغیر قطعات ماشین های راه سازی با محدودیت های خاص را به عنوان Mannigfaltigkeit توصیف کرد ، زیرا متغیر می تواند مقادیر زیادی داشته باشد. او بسته به اینکه مقدار به طور مداوم تغییر می کند یا خیر ، بین Manniigfaltigkeit و Mannigfaltigkeit diskret (manifoldness مداوم و manifoldness discontinuous) تفاوت قائل می شود. به عنوان نمونه های مداوم ، ریمان نه تنها به رنگ ها و مکان های اشیاء موجود در فضا بلکه به شکل های ممکن از یک شکل فضایی اشاره دارد. با استفاده از القاء ، ریمان Mannigfaltigkeit ausgedehnte ausgedehnte a n-fach (n چند برابر افزایش یافته و یا manifoldness n- بعدی) را به عنوان یک پشته مداوم از (n-1) قطعات ماشین های راه سازی بعدی ایجاد می کند. مفهوم شهودی ریمان از یک مانیگفال

سنتز منی فولد دود کاترپیلار

تحقیقات Niels Henrik Abel و Carl Gustav Jacobi در مورد وارونگی انتگرالهای بیضوی در نیمه اول قرن نوزدهم باعث شد تا آنها انواع خاصی از قطعات ماشین های راه سازی پیچیده را که اکنون با عنوان Jacobians شناخته می شوند ، در نظر بگیرند. Bernhard Riemann بیشتر در تئوری آنها نقش داشت و معنای هندسی فرایند ادامه تحلیلی کارکردهای متغیرهای پیچیده را روشن کرد.

منبع مهم دیگر قطعات ماشین های راه سازی در ریاضیات قرن نوزدهم مکانیک تحلیلی بود که توسط Siméon Poisson ، Jacobi و William Rowan Hamilton توسعه یافت. تصور می شود حالات احتمالی یک سیستم مکانیکی نقاطی از یک فضای انتزاعی ، فضای فاز در لورگانیان و فرمالیسم همیلتون مکانیک کلاسیک است. این فضا در حقیقت یک منیفولد با ابعاد بالا است که ابعاد آن مطابق با درجه های آزادی سیستم و جایی است که نقاط توسط مختصات عمومی آنها مشخص می شود. برای حرکت نامشخص ذرات آزاد ، منیفولد معادل فضای اقلیدسی است ، اما قوانین مختلف حفاظت آن را محدود به سازندهای پیچیده تر می کند ، به عنوان مثال. لیووی توری تئوری یک جسم جامد در حال چرخش ، توسعه یافته در قرن 18 توسط لئونارد اویلر و جوزف لوئیس لاگرانژ ، مثال دیگری را نشان می دهد که در آن منی فولد دود cat غیرمجاز است. جنبه های هندسی و توپولوژیکی مکانیک کلاسیک توسط هنری پوانکاره ، یکی از بنیانگذاران توپولوژی مورد تأکید قرار گرفت.

ریمان اولین کسی بود که کارهای گسترده ای انجام داد و ایده ای از سطح به ابعاد بالاتر را تعمیم داد. نام منیفولد از اصطلاح اصلی آلمانی ریمان به نام Mannigfaltigkeit آمده است که ویلیام کینگدون کلیفورد آن را “manifoldness” ترجمه کرده است. ریمان در سخنرانی آغازین گوتینگن ، مجموعه ای از تمام مقادیر ممکن یک متغیر با محدودیت های خاص را به عنوان Mannigfaltigkeit توصیف کرد ، زیرا متغیر می تواند مقادیر زیادی داشته باشد. او بسته به اینکه مقدار به طور مداوم تغییر می کند یا خیر ، بین Manniigfaltigkeit و Mannigfaltigkeit diskret (manifoldness مداوم و manifoldness discontinuous) تفاوت قائل می شود. به عنوان نمونه های مداوم ، ریمان نه تنها به رنگ ها و مکان های اشیاء موجود در فضا بلکه به شکل های ممکن از یک شکل فضایی اشاره دارد. با استفاده از القاء ، ریمان Mannigfaltigkeit ausgedehnte ausgedehnte a n-fach (n چند برابر افزایش یافته و یا manifoldness n- بعدی) را به عنوان یک پشته مداوم از (n-1) مانیفولد های بعدی ایجاد می کند. مفهوم شهودی ریمان از یک Mannigfaltigkeit در آنچه امروزه به عنوان منیفولد رسمی شده است ، تکامل یافت. منیفولدهای ریمانی و سطوح ریمان نام ریمان نامگذاری شده اند.

تعریف Poincaré منی فولد دود cat

در مقاله بسیار تأثیرگذار خود ، تجزیه و تحلیل سیتوس ، هنری پوانکار تعریف از یک منیفولد (متفاوت) را ارائه داد که به عنوان پیشرو مفهوم مدرن منیفولد عمل می کرد.

در اولین بخش از تحلیل Situs ، Poincaré منی فولد دود کاترپیلار را به عنوان مجموعه سطح یک تابع متمایز متمایز بین فضاهای اقلیدسی تعریف می کند که فرضیه غیرتولیدی بودن قضیه عملکرد ضمنی را برآورده می کند. در بخش سوم ، وی با ذکر این نکته شروع می کند که نمودار عملکردی که به طور مداوم متمایز است ، به معنای قطعات ماشین های راه سازی، مانیفولد است. او سپس تعریفی جدید و عمومی تر از منیفولد را بر اساس “زنجیره منیفولد” (une chaîne des variétés) ارائه می دهد.

مفهوم پوینکاره در مورد زنجیره منیفولدها پیشرو مفهوم مدرن اطلس است. قطعات ماشین های راه سازی به طور خاص ، او دو منیفولد را تعریف می کند که به ترتیب به عنوان نمودار توابع {\ displaystyle \ theta (y)} \ theta (y) و {\ displaystyle \ theta ‘\ left (y’ \ Right) defined {\ displaystyle \ theta ‘\ چپ (y ‘\ سمت راست)}. اگر این منیفولدها با هم همپوشانی داشته باشند (یک کمون une partie) ، پس او نیاز دارد که مختصات {\ displaystyle y} y به طور مداوم به مختصات وابسته باشند {\ displaystyle y ‘} y’ و برعکس (‘… les {\ displaystyle y anal y sont fonctions analytiques des {\ displaystyle y ‘} y’ and andversement ‘). در این روش او یک پیشرو را با مفهوم نمودار و نقشه گذار معرفی می کند. در تحلیل Situs کاملاً ضمنی است که منیفولد بدست آمده به عنوان “زنجیره ای” زیرمجموعه‌ای از فضای اقلیدسی است.

به عنوان مثال ، می توان دایره واحد موجود در هواپیما را به عنوان نمودار تابع تصور کرد thought \ displaystyle y = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} y = {\ sqrt {1-x ^ {2 }}} یا دیگری تابع {\ displaystyle y = – {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} {\ displaystyle y = – {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} در یک محله از هر امتیاز به جز امتیازات (1 ، 0) و (1 0 ، 0) و در همسایگی آن نقاط می توان به ترتیب نمودار {\ displaystyle x = {\ sqrt {1-y ^ {2}}}} {\ displaystyle x = {\ sqrt {1- y ^ {2}}}} و {\ displaystyle x = – {\ sqrt {1-y ^ {2}}}} {\ displaystyle x = – {\ sqrt {1-y ^ {2}}}. دلیل اینکه حلقه می تواند توسط یک نمودار در همسایگی هر نقطه نشان داده شود به این دلیل است که سمت چپ معادله تعریف کننده آن {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0} {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0} دارای شیب nonzero در هر نقطه از دایره است. با قضیه عملکرد ضمنی ، هر زیر مجموعه از فضای اقلیدسی بصورت محلی نمودار یک تابع است.

هرمان ویل تعریف ذاتی را برای مانی متفاوت ارائه داد قطعات ماشین های راه سازی

فروش قطعات ماشینهای راه سازی

فروش قطعات ماشینهای معدنی

فروش قطعات کوماتسو

فروش قطعات کاترپیلار

فروش قطعات ولوو